الجبر الخطي الأمثلة

$3 y + 2 z + w = 1$ , $2 x + 2 y - 2 z + 4 w = 2$

خطوة 1

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 2 & - 2 & 2 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 \cdot 0 & 2 - 4 \cdot 3 & - 2 - 4 \cdot 2 & 2 - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 2.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & - 10 & - 10 & - 2 \end{array}]$

خطوة 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 10}{2} & \frac{- 10}{2} & \frac{- 2}{2} \end{array}]$

خطوة 2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 & - 5 & - 1 \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$w + 3 y + 2 z = 1$

$x - 5 y - 5 z = - 1$

خطوة 4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $w$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $3 y$ من كلا المتعادلين.

$w + 2 z = 1 - 3 y$

$x - 5 y - 5 z = - 1$

خطوة 4.2

اطرح $2 z$ من كلا المتعادلين.

$w = 1 - 3 y - 2 z$

$x - 5 y - 5 z = - 1$

$w = 1 - 3 y - 2 z$

$x - 5 y - 5 z = - 1$

خطوة 5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $5 y$ إلى كلا المتعادلين.

$x - 5 z = - 1 + 5 y$

$w = 1 - 3 y - 2 z$

خطوة 5.2

أضف $5 z$ إلى كلا المتعادلين.

$x = - 1 + 5 y + 5 z$

$w = 1 - 3 y - 2 z$

$x = - 1 + 5 y + 5 z$

$w = 1 - 3 y - 2 z$

خطوة 6

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(1 - 3 y - 2 z, - 1 + 5 y + 5 z, y, z)$

خطوة 7

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 - 3 y - 2 z \\ - 1 + 5 y + 5 z \\ y \\ z \end{array}]$